বহির্গ্রহ এর আবার বায়ুমণ্ডলও থাকে?

bdoaaadmin/ January 3, 2021/ Astronomy Articles

Introduction

আমার রিসার্চ ইন্টার্নশিপ এর জন্য এক্সোপ্যানেট বা বহির্গ্রহ নিয়ে গত ৬/৭ মাস অনেক পড়াশুনা করা লেগেছে। কিছু জানা কিছু অজানা কিন্তু প্রসেসটা আমার কাছে একেবারেই ভিন্ন। কিন্তু যখনই আমি কোনো প্রব্লেম ফেস করি তখন আমার মনে হয়, এগুলোকে একজন অলিম্পিয়াড প্রতিযোগী কীভাবে সমাধান করবে যে কিনা কেবল স্কুল-কলেজে পড়বে। সে চিন্তা থেকে মাথায় আসে, আচ্ছা একটি বহির্গ্রহকেই বের করা কত মুশকিল, আবার আমরা বের করার চেষ্টা করছি সে বহির্গ্রহ এর বায়ুমণ্ডল কেমন হবে ? [আমার রিসার্চ এর একটা ওভারভিউ এখানে পাওয়া যাবে- http://abekta.iub.edu.bd/jc/12/ ]

মূলত আমরা যে পদ্ধতি ব্যবহার করে পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে বহির্গ্রহ এর বায়ুমন্ডল আছে কিনা বের করি তাহল ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি। যারা জ্যোতির্বিজ্ঞান নিয়ে পড়াশুনা করেনি তাদের কাছে কোনো এক অচিন পাখি হতে পারে , প্রসেসটাও খুব একটা সোজা না। কিন্তু আমরা এখানে সহজ কিছু অংক করে একটু আচ করার চেষ্টা করব ব্যপারটা কেমন হতে পারে।

A bit of Exoplanetary Science: Hydrostatic Equilibrium and Scale height

প্রথমে Exoplanet atmopshere সম্পর্কে জানতে আমাদের জানা লাগবে বায়ুমণ্ডলে চাপ কীভাবে কাজ করে বা উচ্চতার সাথে সাথে বায়ুমণ্ডল এর চাপ কীভাবে পরিবর্তন করে। তাই প্রথমে আমরা উচ্চতার সাথে চাপের একটি সম্পর্ক নিয়ে আসতে চেষ্টা করব।

এই পদ্ধতিতে আমরা কিছু জিনিস অনুমান করে নিয়ে কিছু সূত্র প্রতিপাদন করে দেখব । আমরা একটি তারা বা গ্রহের বায়ুমণ্ডল নিয়ে চিন্তা করে কাজ করব। এখানে আমাদের কিছুটা ক্যাল্কুলাস এর প্রয়োগ করতে হবে আমরা শুরুতে ধরে নিতে পারি বায়ুমণ্ডলে সর্বত্ত তাপমাত্রা ধ্রুব (constant temperature)। পরে আমরা তাপমাত্রা পরিবর্তনের সাথে এই সূত্রকে কীভাবে পরিমার্জন করা যায় সেটা দেখব।

প্রথমে আমরা একটি বায়ু ভর্তি সিলিন্ডার কল্পনা করব যা ভূমি থেকে শুরু করে অসীম মহাকাশ পর্যন্ত চলে গেছে। এই সিলিন্ডারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $A$ এবং এর উচ্চতাকে অনেক গুলা $dh$ স্লাইসে ভাগ করা হয়েছে। ধরে নেওয়া যাক ভূমি থেকে শুরু করে প্রতিটা স্লাইস এর উচ্চতা $h$। যখন সিলিন্ডারের বায়ু গুলো স্থির সাম্যবস্থায় আছে তখন প্রত্যেক স্লাইস এর ওজন তার নিচের আর ওপরের চাপের দ্বারা ব্যালেন্স করা আছে।  

The mass of air in the slice is the density of the slice multiplied by its volume. Resolving forces gives this equation

$$mg = \rho Ag \times dh = P(h) \times A- P (h+dh) \times A$$$$mg = \rho \times dh = P(h) \times A- P (h+dh) \times A$$$$P (h+dh) -P(h) =-\rho g \times dh$$

$$\frac{dP}{dh} = -\rho g$$

বায়ুমণ্ডলে সকল স্তরের ঘনত্ব সমান না। এটা আবার চাপের সাথে পরিবর্তন হয়। তাহলে আমাদের ২টির মধ্যে সম্পর্ক বের করা উচিত। এখানে আমাদের বন্ধু হচ্ছে আদর্শ গ্যাসের সূত্র, আমরা চাপের সাথে ঘনত্বের সম্পর্ক  করতে পারি, Temperature ($T$), mass of the air molecule ($m$), এবং  the ideal gas Boltzmann constant ($k$)

$$P = nkT$$ $$P = \rho \,(\frac{kT}{m})$$$$\rho = P \,(\frac{m}{kT})$$

Inserting the formula for $\rho$  to the differential equation for Pressure and height allows it to be easily solved.

$$\frac{dP}{dh} = – P\,(\frac{m}{kT})\,g$$$$\int_{P_0}^{P_h} \frac{dP}{P} = – \int_0^h \frac{mg}{kT} \, dh$$$$ln(P_h) – ln(P_0) = ln\frac{P_h}{P_0} = -(\frac{mgh}{kT})$$$$P_h = P_0\; exp(-\frac{mgh}{H})$$

এখানে, আমরা নতুন একটি বিষয় আনতে পারি, একটি গ্রহের বায়মন্ডলের জন্য, Scale Height হচ্ছে – increase in altitude for which the atmospheric pressure decreases by a factor of $e$,

$$H =\frac{kT}{mg}$$$$P_h = P_0 \;exp(-h/H)$$

Transmission Spectroscopy

ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি কি জিনিস? এই প্রশ্ন এর উত্তর সহজে বুঝতে জানা উচিত যে আজ পর্যন্ত সবচেয়ে বেশী Exoplanet বের করা গেছে ট্রানজিট পদ্ধতিতে , মানে তারার সামনে দিয়ে গ্রহটি পার হয়ে যাওয়ার সময় তারার আলোর যে আপাত হ্রাস ঘটে।

যখন একটি তারাকে তার গ্রহ ঢেকে দেয় তখন গ্রহণের ফলে ফ্লাক্স বনাম সময় গ্রাফে একটি গর্ত (depression) এর সৃষ্টি হয়। একে Transit depth বলা হয়। Transit depth এর সাহায্যে গ্রহটির ব্যাসার্ধ সহজে মাপা যায়।


Transit Depth ($\delta$)


Transit of exoplanet Wasp-4b in front of its host star.

ট্রানজিট ছাড়া পুরা সিস্টেম এর Luminosity— $L_{total} = \pi r_S^2 \, \sigma T_{eff}^2$
ট্রানজিট এর সময় (তারার সামনে গ্রহ বা অন্য কিছু চলে আসলে— $L_{\rm transit} = \pi \,(r_S^2 -r_p^2) \, \sigma T_{eff}^2$
এখন Transit depth,

$$\delta =\frac{L_{total}-L_{transit}}{L_{total}} = \frac{r_p^2}{r_S^2}$$

এই depth ২ টি তারা জন্য ২ টি আসে। মাঝে মাঝে এগুলোকে Minima ও বলা হয়। মনে রাখা উচিত যে, Transit depth এর সর্বচ্চো পরিমাণ মোট প্রাপ্ত উজ্জ্বলতার $1-2 \%$ হয়।


এই ঘটনা আসলে খুব একটা সচরাচর না। কোন পৃথিবীর মত (যা সূর্যের মত তারাকে 1 AU দূরে থেকে আবর্তন করছে) যার কক্ষপথ একদম অনিয়মিত (random) , এরকম গ্রহ খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা মাত্র $ 5\% $, যদি আমরা এই ঘটনা দেখতে পায় তাহলে সেখানে থেকে আমরা অনেক ধরণের তথ্য বের করে নিয়ে আসতে পারি। আমি যে effect নিয়ে এখানে কথা বলব তা অনেক সহজ, যখন ট্রানজিট হয় তারাটির আলো কিছুটা অবরুদ্ধ হয় কিন্তু কিছু আলো গ্রহের বায়ুমণ্ডল ভেদ করে পাসও করে যায়! এভাবে এই পাস করা আলোর সাথে সে গ্রহের বায়ুমন্ডলের ফিঙ্গারপ্রিন্টও চলে আসে যখন আমরা সে আলোকে পৃথিবী থেকে দেখি। তাই এই পদ্ধতির নাম দেওয়া হয়েছে ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি। কথায় আছে একটা ছবি হাজার শব্দের চেয়ে দামী—

Diagram showing how light is not only blocked by a transiting planet during a transit event but also how the atmospheric signature (red ring around the blue planet) is imprinted on the stellar light. Credits: Néstor Espinoza.

দেখে ব্যাপারটা সহজ মনে হচ্ছে তাই না? কিন্তু প্রভাবটাও যথেষ্ট ছোট। আবার সেই ট্রানজিট থেকে স্পেক্ট্রস্কপি দিয়ে তার বায়ুমন্ডলের উপাদান বের করে দেখা হয় সেটা আরো ছোট! আমরা আগে জানার চেষ্টা করি ব্যপারটা কত ছোট (In sense of Scale) 
$$F_{obs} = L_\odot / 4\pi d^2 \approx  2\times 10^{-8}  \; W/m^2 $$

এই ফ্লাক্সের পরিমাণ বুঝতে একটি লাইট বাল্ব এর কথা চিন্তা করি যার ক্ষমতা ১০০ ওয়াট। এখন একই পরিমাণ ফ্লাক্স যদি বাল্ব থেকে আসে তাহলে বাল্বটা যে দূরত্বে স্থাপন করতে হবে,
$$d = \sqrt{L_{Bulb}/ 4\pi F_{obs}} \approx 20\; km $$

এখন ভেবে দেখ আমরা ট্রানজিট Depth এর সূত্র থেকে দেখলাম যে এটার নির্ভর করে তাদের আকারের ওপরে। এখন ২০ কিলোমিটার দূরে থাকা কোন ১০০ ওয়াট বাল্বের সাথে দিয়ে যদি কোন মৌমাছি উড়ে যায় তাহলে যে পরিমাণ আপাত উজ্জলতা কমবে মনে হবে সেটাই হচ্ছে $\delta_p \approx 1/100$ এর সমান! ভাবা যায় কত ছোট বা সূক্ষ্ম একটা ব্যাপার!! আমি আগেই বলেছি যে বেশীরভাগ Exoplanet এই ভাবেই বের করা হয়।
ধরি আগের গ্রহ নিয়েই কথা হচ্ছে কিন্তু এবার গ্রহটির বায়ুমন্ডল আছে। এইখানে একজন যে জিনিসটা জানতে চাই নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্যে ট্রানজিটের সময় কি পরিমাণ আলো গ্রহের বায়ুমন্ডল শোষন করে নিয়েছে। ব্যাপারটা সহজ করতে আমরা ধরে নিব যে গ্রহের বায়ুমন্ডলটিতে শুধু এক ধরনের মৌল আছে যা নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্যে শোষণ করে। আর একটাই বল গ্রহের বায়ুমন্ডলের মৌল গুলোকে escape করতে দিচ্ছে না তাহল, মাধ্যকর্ষন! তাহলে বায়ুমন্ডলের এমন একটা সীমা থাকা উচিত যার বাইরে গেলে মৌল গুলোকে ধরে রাখার মত কোন বল পাবে না ও মৌল গুলো নিজস্ব আণবিক গতির কারণে পালিয়ে যাবে। যদি আমি ধরে নেই যে মৌলগুলো আদর্শ গ্যাসের মত আচরণ করে তাহলে তাদের গতিশক্তি হবে,  $E_k \approx k_B T$। যেখানে  $k_B = 1.4 \times 10^{-23} \; J/K$ যাকে বলে Boltzmann’s constant। অন্যদিকে যদি মৌল এর ভর হয় তাহলে বিভব শক্তি $E_g \approx mgh$।

যখন $E_k \sim E_g$, গতিশক্তি যথেষ্ট যে কিছু পরিমাণ গ্যাস গ্রহ থেকে পালিয়ে যেতে পারবে। যে উচ্চতায় সেটা হবে সেটাই আমাদের Scale height থেকে বের করা যায়,  $H \sim k_B T/mg $।
পৃথিবীর জন্যে $g \approx 10 \,m/s^2, \; T = 300 K $ এবং পৃথিবীর মৌল গুলোর গড় ভর $m \approx 29 m_p$ যেখানে প্রোটনের ভর $m_p \approx 2 \times 10^{-27} \;kg$। Scale Height for earth, 

$$\large {H_{Earth} \sim 5 \; km}$$

অবশ্যই এটাই  সম্পুর্ণ বায়ুমণ্ডলের উচ্চতা না যার দ্বারা ট্রান্সমিশন স্পেকট্রস্কপি প্রভাবিত হবে। কিন্তু পাতলা বায়ুমণ্ডল ($H$) এবং অতি পুরু বায়ুমণ্ডলের ($10H$) এর মধ্যে $5H$ একটি রিজেনেবল চয়েস বলা যায়। ধরি আমাদের স্বল্প দূরত্বে ট্রানজিটিং হট জুপিটার এর বায়ুমণ্ডলের স্কেল হাইট $5H$। এই পর্যন্ত আবিষ্কৃত বেশীরভাগ Hot Jupiter এর পর্যায়কাল পাওয়া গেছে 3 দিনের মত এবং যাদের তাপমাত্রা প্রায় (যেকারনে এই গ্রহ গুলোকে Hot Jupiter বলা হয় আরকি )। যদি আমরা এটার গঠন জুপিটার এর মতই হয় তাহলে এর মাধ্যকর্ষন হবে $g = GM/R^2 \sim 30\; km/s^2 $।
আবার এই গ্রহ মূলত হাইড্রোজেন গ্যাস এর তৈরি হবার কথা মানে $m \approx 2m_p \sim 4 \times 10^{-27} \;kg $।  সব গুলো তথ্য থেকে আমরা বলতে পারি যে এর স্কেল হাইট হবে, 
$$H_{HJ} \sim 200 \, km$$

এই ক্ষেত্রে যদি , বায়ুমণ্ডল একটি নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্য এর সকল আলো শোষণ করে নেয় তাহলে গ্রহটির ব্যাসার্ধ মনে হবে, $R_{p+atm} =R_p +5H_{HJ}$। এখানে থেকে আমরা ট্রানজিট রেশিও বের করতে পারি কিন্তু এখানে নতুন গ্রহ এবং বায়ুমণ্ডল সহ ,

$$\delta_{p+atm} = (R_{p+atm}/R_\odot)^2 = \delta_p +(10R_p\, H_{HJ} +25H_{HJ}^2)/R_\odot^2$$

$$\approx \delta_p + 10\, R_p\, H_{HJ}/R_\odot^2$$

আরও সহজ ভাবে, 

$$\delta_{p+atm} \approx \delta_p + \delta_{atm}$$

এখানে আমি খুব ক্ষুদ্র রাশি বলে $25H_{HJ}^2 /R_\odot^2$ কে হটিয়ে দিয়েছি । এখন সূর্যের ব্যাসার্ধ $R_S = 7 \times 10^{15}\; km$ এবং জুপিটার এর ব্যাসার্ধ $R_J = 7 \times 10^4 \; km$ ধরে স্কেল হাইট হবে,

$$ \delta_{atm} =3 \times 10^{-4}$$

বা ০.০৩ শতাংশ! এইটা আমাদের ট্রানজিট সিগন্যাল $\delta_p$ এর চেয়েও ২ দশমিক ধাপ নিছে যা ছিল $1\%$! আমরা যদি আমাদের লাইট বাল্বের উদাহরণ এ ফিরে যায় যেখানে আমরা বলেছিলাম যে ফ্লাক্স এর পরিবর্তন এর একটা কারণ হতে পারে আকাশের দেয়ালে ২ টি বস্তুর আপাত ডিস্ক এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত, (আমাদের লাইট বাল্বের ব্যাসার্ধ ছিল $R_{lightbulb} =10 \; cm$ ) তাহলে $\delta_{atm} =3 \times 10^{-4}$ পরিমাণ ফ্লাক্স এর পরিবর্তন এর জন্য

$$r = \sqrt{\delta} \times R_{lightbulb} \approx 2\; cm$$

আকারের বস্তুকে লাইট বাল্ব এবং আমাদের মাঝে পাস করে যাওয়া লাগবে!! মানে কি পরিমাণ নিখুঁত হওয়া লাগবে!
কিন্তু এসব স্টাডি গুলো করে হয়েছে কয়েকটা মাত্র স্যাম্পল সিস্টেম এর জন্য। আবার এসব পর্যবেক্ষণ নির্দিষ্ট পরিমাণ ফ্লাক্স আসা ছাড়াও অনেক ধরণের চ্যালেঞ্জ এর সম্মুখীন হতে হয়। যেমন ধর মাত্র ০.০৩% শতাংশ ফ্লাক্স তুমি বাল্ব থেকে পাচ্ছ কিন্তু তোমাদের মাঝে কুয়াশা আছে বা বাল্বটা কোনো গাড়ির হেডলাইট যা একটা গতিতে চলছে, এরকম অনেক ঝামেলা তারাদের ক্ষেত্রে গ্রাউন্ড ভিত্তিক পর্যবেক্ষণে জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের অনেক বিরক্ত করে। কিন্তু এসব জ্যোতির্বিজ্ঞানকে আরো মজার করে তুলে।


Fahim Rajit Hossain
Summer Intern 2020, Leiden University
Bangladesh Olympiad on Astronomy and Astrophysics


Share this Post