বহির্গ্রহ এর আবার বায়ুমণ্ডলও থাকে?

bdoaaadmin/ January 3, 2021/ Astronomy Articles

Introduction

আমার রিসার্চ ইন্টার্নশিপ এর জন্য এক্সোপ্যানেট বা বহির্গ্রহ নিয়ে গত ৬/৭ মাস অনেক পড়াশুনা করা লেগেছে । কিছু জানা কিছু অজানা কিন্তু প্রসেসটা আমার কাছে একেবারেই ভিন্ন । কিন্তু যখনই আমি কোনো প্রব্লেম ফেস করি তখন আমার মনে হয়, এগুলোকে একজন অলিম্পিয়াড প্রতিযোগী কীভাবে সমাধান করবে যে কিনা কেবল স্কুল-কলেজে পড়বে । সে চিন্তা থেকে মাথায় আসে, আচ্ছা একটি বহির্গ্রহকেই বের করা কত মুশকিল, আবার আমরা বের করার চেষ্টা করছি সে বহির্গ্রহ এর বায়ুমণ্ডল কেমন হবে ? [আমার রিসার্চ এর একটা ওভারভিউ এখানে পাওয়া যাবে- http://abekta.iub.edu.bd/jc/12/ ]

মূলত আমরা যে পদ্ধতি ব্যবহার করে পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে বহির্গ্রহ এর বায়ুমন্ডল আছে কিনা বের করি তাহল ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি । যারা জ্যোতির্বিজ্ঞান নিয়ে পড়াশুনা করেনি তাদের কাছে কোনো এক অচিন পাখি হতে পারে , প্রসেসটাও খুব একটা সোজা না । কিন্তু আমরা এখানে সহজ কিছু অংক করে একটু আচ করার চেষ্টা করব ব্যপারটা কেমন হতে পারে ।

A bit Exoplanetary Science: Hydrostatic Equilibrium and Scale height

প্রথমে Exoplanet atmopshere সম্পর্কে জানতে আমাদের জানা লাগবে বায়ুমণ্ডলে চাপ কীভাবে কাজ করে বা উচ্চতার সাথে সাথে বায়ুমণ্ডল এর চাপ কীভাবে পরিবর্তন করে । তাই প্রথমে আমরা উচ্চতার সাথে চাপের একটি সম্পর্ক নিয়ে আসতে চেষ্টা করব ।

এই পদ্ধতিতে  আমরা কিছু জিনিস অনুমান করে নিয়ে কিছু সূত্র প্রতিপাদন করে দেখব । আমরা একটি তারা বা গ্রহের বায়ুমণ্ডল নিয়ে চিন্তা করে কাজ করব। এখানে আমাদের কিছুটা ক্যাল্কুলাস এর প্রয়োগ করতে হবে আমরা শুরুতে ধরে নিতে পারি বায়ুমণ্ডলে সর্বত্ত তাপমাত্রা ধ্রুব (constant temperature) । পরে আমরা তাপমাত্রা পরিবর্তনের সাথে এই সূত্রকে কীভাবে পরিমার্জন করা যায় সেটা দেখব ।

প্রথমে আমরা একটি বায়ু ভর্তি সিলিন্ডার কল্পনা করব যা ভূমি থেকে শুরু করে অসীম মহাকাশ পর্যন্ত চলে গেছে । এই সিলিন্ডারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $A$ এবং এর উচ্চতাকে অনেক গুলা $dh$ স্লাইসে ভাগ করা হয়েছে । ধরে নেওয়া যাক ভূমি থেকে শুরু করে প্রতিটা স্লাইস এর উচ্চতা $h$ । যখন সিলিন্ডারের বায়ু গুলো স্থির সাম্যবস্থায় আছে তখন প্রত্যেক স্লাইস এর ওজন তার নিচের আর ওপরের চাপের দ্বারা ব্যলেন্স করা আছে ।  

The mass of air in the slice is the density of the slice multiplied by its volume. Resolving forces gives this equation

$$mg = \rho Ag \times dh = P(h) \times A- P (h+dh) \times A$$$$mg = \rho \times dh = P(h) \times A- P (h+dh) \times A$$$$P (h+dh) -P(h) =-\rho g \times dh$$

$$\frac{dP}{dh} = -\rho g$$

বায়ুমণ্ডলে সকল স্তরের ঘনত্ব সমান না । এটা আবার চাপের সাথে পরিবর্তন হয় । তাহলে আমাদের ২টির মধ্যে সম্পর্ক বের করা উচিত । এখানে আমাদের বন্ধু হচ্ছে আদর্শ গ্যাসের সূত্র, আমরা চাপের সাথে ঘনত্বের সম্পর্ক  করতে পারি, Temperature ($T$), mass of the air molecule ($m$), এবং  the ideal gas Boltzmann constant ($k$)

$$P = nkT$$ $$P = \rho \,(\frac{kT}{m})$$$$\rho = P \,(\frac{m}{kT})$$

Inserting the formula for $\rho$  to the differential equation for Pressure and height allows it to be easily solved.

$$\frac{dP}{dh} = – P\,(\frac{m}{kT})\,g$$$$\int_{P_0}^{P_h} \frac{dP}{P} = – \int_0^h \frac{mg}{kT} \, dh$$$$ln(P_h) – ln(P_0) = ln\frac{P_h}{P_0} = -(\frac{mgh}{kT})$$$$P_h = P_0\; exp(-\frac{mgh}{H})$$

এখানে, আমরা নতুন একটি বিষয় আনতে পারি, একটি গ্রহের বায়মন্ডলের জন্য, Scale Height হচ্ছে – increase in altitude for which the atmospheric pressure decreases by a factor of $e$,

$$H =\frac{kT}{mg}$$$$P_h = P_0 \;exp(-h/H)$$

Transmission Spectroscopy

ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি কি জিনিস? এই প্রশ্ন এর উত্তর সহজে বুঝতে জানা উচিত যে আজ পর্যন্ত সবচেয়ে বেশী Exoplanet বের করা গেছে ট্রানজিট পদ্ধতিতে , মানে তারার সামনে দিয়ে গ্রহটি পার হয়ে যাওয়ার সময় তারার আলোর যে আপাত হ্রাস ঘটে ।

যখন একটি তারাকে তার গ্রহ ঢেকে দেয় তখন গ্রহণের ফলে ফ্লাক্স বনাম সময় গ্রাফে একটি গর্ত (depression) এর সৃষ্টি হয় । একে Transit depth বলা হয় । Transit depth এর সাহায্যে গ্রহটির ব্যাসার্ধ সহজে মাপা যায় ।


Transit Depth ($\delta$)


Transit of exoplanet Wasp-4b in front of its host star.

ট্রানজিট ছাড়া পুরা সিস্টেম এর Luminosity— $L_{total} = \pi r_S^2 \, \sigma T_{eff}^2$
ট্রানজিট এর সময় (তারার সামনে গ্রহ বা অন্য কিছু চলে আসলে— $L_{transit} = \pi \,(r_S^2 -r_p^2) \, \sigma T_{eff}^2$
এখন Transit depth,

$$\delta =\frac{L_{total}-L_{transit}}{L_{total}} = \frac{r_p^2}{r_S^2}$$

এই depth ২ টি তারা জন্য ২ টি আসে । মাঝে মাঝে এগুলোকে Minima ও বলা হয় । মনে রাখা উচিত যে, Transit depth এর সর্বচ্চো পরিমাণ মোট প্রাপ্ত উজ্জ্বলতার $1-2 \%$ হয়।


এই ঘটনা আসলে খুব একটা সচরাচর না । কোন পৃথিবীর মত (যা সূর্যের মত তারাকে 1 AU দূরে থেকে আবর্তন করছে) যার কক্ষপথ একদম অনিয়মিত (random) , এরকম গ্রহ খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা মাত্র $ 5\% $ , যদি আমরা এই ঘটনা দেখতে পায় তাহলে সেখানে থেকে আমরা অনেক ধরণের তথ্য বের করে নিয়ে আসতে পারি । আমি যে effect নিয়ে এখানে কথা বলব তা অনেক সহজ, যখন ট্রানজিট হয় তারাটির আলো কিছুটা অবরুদ্ধ হয় কিন্তু কিছু আলো গ্রহের বায়ুমণ্ডল ভেদ করে পাসও করে যায় ! এভাবে এই পাস করা আলোর সাথে সে গ্রহের বায়ুমন্ডলের ফিঙ্গারপ্রিন্টও চলে আসে যখন আমরা সে আলোকে পৃথিবী থেকে দেখি । তাই এই পদ্ধতির নাম দেওয়া হয়েছে ট্রান্সমিশন স্পেক্ট্রস্কপি । কথায় আছে একটা ছবি হাজার শব্দের চেয়ে দামী—

Diagram showing how light is not only blocked by a transiting planet during a transit event but also how the atmospheric signature (red ring around the blue planet) is imprinted on the stellar light. Credits: Néstor Espinoza.

দেখে ব্যাপারটা সহজ মনে হচ্ছে তাই না ? কিন্তু প্রভাবটাও যথেষ্ট ছোট । আবার সেই ট্রানজিট থেকে স্পেক্ট্রস্কপি দিয়ে তার বায়ুমন্ডলের উপাদান বের করে দেখা হয় সেটা আরো ছোট! আমরা আগে জানার চেষ্টা করি ব্যপারটা কত ছোট (In sense of Scale) 
$$F_{obs} = L_\odot / 4\pi d^2 \approx  2\times 10^{-8}  \; W/m^2 $$

এই ফ্লাক্সের পরিমাণ বুঝতে একটি লাইট বাল্ব এর কথা চিন্তা করি যার ক্ষমতা ১০০ ওয়াট । এখন একই পরিমাণ ফ্লাক্স যদি বাল্ব থেকে আসে তাহলে বাল্বটা যে দূরত্বে স্থাপন করতে হবে,
$$d = \sqrt{L_{Bulb}/ 4\pi F_{obs}} \approx 20\; km $$

এখন ভেবে দেখ আমরা ট্রানজিট Depth এর সূত্র থেকে দেখলাম যে এটার নির্ভর করে তাদের আকারের ওপরে । এখন ২০ কিলোমিটার দূরে থাকা কোন ১০০ ওয়াট বাল্বের সাথে দিয়ে যদি কোন মৌমাছি উড়ে যায় তাহলে যে পরিমাণ আপাত উজ্জলতা কমবে মনে হবে সেটাই হচ্ছে $\delta_p \approx 1/100$ এর সমান ! ভাবা যায় কত ছোট বা সূক্ষ্ম একটা ব্যাপার!! আমি আগেই বলেছি যে বেশীরভাগ Exoplanet এই ভাবেই বের করা হয় ।
ধরি আগের গ্রহ নিয়েই কথা হচ্ছে কিন্তু এবার গ্রহটির বায়ুমন্ডল আছে । এইখানে একজন যে জিনিসটা জানতে চাই নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্যে ট্রানজিটের সময় কি পরিমাণ আলো গ্রহের বায়ুমন্ডল শোষন করে নিয়েছে । ব্যাপারটা সহজ করতে আমরা ধরে নিব যে গ্রহের বায়ুমন্ডলটিতে শুধু এক ধরনের মৌল আছে যা নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্যে শোষণ করে । আর একটাই বল গ্রহের বায়ুমন্ডলের মৌল গুলোকে escape করতে দিচ্ছে না তাহল, মাধ্যকর্ষন ! তাহলে বায়ুমন্ডলের এমন একটা সীমা থাকা উচিত যার বাইরে গেলে মৌল গুলোকে ধরে রাখার মত কোন বল পাবে না ও মৌল গুলো নিজস্ব আণবিক গতির কারণে পালিয়ে যাবে । যদি আমি ধরে নেই যে মৌলগুলো আদর্শ গ্যাসের মত আচরণ করে তাহলে তাদের গতিশক্তি হবে,  $E_k \approx k_B T$ । যেখানে  $k_B = 1.4 \times 10^{-23} \; J/K$ যাকে বলে Boltzmann’s constant । অন্যদিকে যদি মৌল এর ভর হয় তাহলে বিভব শক্তি $E_g \approx mgh$ ।

যখন $E_k \sim E_g$, গতিশক্তি যথেষ্ট যে কিছু পরিমাণ গ্যাস গ্রহ থেকে পালিয়ে যেতে পারবে । যে উচ্চতায় সেটা হবে সেটাই আমাদের Scale height থেকে বের করা যায়,  $H \sim k_B T/mg $ ।
পৃথিবীর জন্যে $g \approx 10 \,m/s^2, \; T = 300 K $ এবং পৃথিবীর মৌল গুলোর গড় ভর $m \approx 29 m_p$ যেখানে প্রোটনের ভর $m_p \approx 2 \times 10^{-27} \;kg$ । Scale Height for earth, 

$$\large {H_{Earth} \sim 5 \; km}$$

অবশ্যই এটাই  সম্পুর্ণ বায়ুমণ্ডলের উচ্চতা না যার দ্বারা ট্রান্সমিশন স্পেকট্রস্কপি প্রভাবিত হবে । কিন্তু পাতলা বায়ুমণ্ডল ($H$) এবং অতি পুরু বায়ুমণ্ডলের ($10H$) এর মধ্যে $5H$ একটি রিজেনেবল চয়েস বলা যায় । ধরি আমাদের স্বল্প দূরত্বে ট্রানজিটিং হট জুপিটার এর বায়ুমণ্ডলের স্কেল হাইট $5H$। এই পর্যন্ত আবিষ্কৃত বেশীরভাগ Hot Jupiter এর পর্যায়কাল পাওয়া গেছে 3 দিনের মত এবং যাদের তাপমাত্রা প্রায় (যেকারনে এই গ্রহ গুলোকে Hot Jupiter বলা হয় আরকি ) । যদি আমরা এটার গঠন জুপিটার এর মতই হয় তাহলে এর মাধ্যকর্ষন হবে $g = GM/R^2 \sim 30\; km/s^2 $ ।
আবার এই গ্রহ মূলত হাইড্রোজেন গ্যাস এর তৈরি হবার কথা মানে $m \approx 2m_p \sim 4 \times 10^{-27} \;kg $ ।  সব গুলো তথ্য থেকে আমরা বলতে পারি যে এর স্কেল হাইট হবে, 
$$H_{HJ} \sim 200 \, km$$

এই ক্ষেত্রে যদি , বায়ুমণ্ডল একটি নির্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্য এর সকল আলো শোষণ করে নেয় তাহলে গ্রহটির ব্যাসার্ধ মনে হবে, $R_{p+atm} =R_p +5H_{HJ}$ । এখানে থেকে আমরা ট্রানজিট রেশিও বের করতে পারি কিন্তু এখানে নতুন গ্রহ এবং বায়ুমণ্ডল সহ ,

$$\delta_{p+atm} = (R_{p+atm}/R_\odot)^2 = \delta_p +(10R_p\, H_{HJ} +25H_{HJ}^2)/R_\odot^2$$

$$\approx \delta_p + 10\, R_p\, H_{HJ}/R_\odot^2$$

আরও সহজ ভাবে, 

$$\delta_{p+atm} \approx \delta_p + \delta_{atm}$$

এখানে আমি খুব ক্ষুদ্র রাশি বলে $25H_{HJ}^2 /R_\odot^2$ কে হটিয়ে দিয়েছি । এখন সূর্যের ব্যাসার্ধ $R_S = 7 \times 10^{15}\; km$ এবং জুপিটার এর ব্যাসার্ধ $R_J = 7 \times 10^4 \; km$ ধরে স্কেল হাইট হবে,

$$ \delta_{atm} =3 \times 10^{-4}$$

বা ০.০৩ শতাংশ ! এইটা আমাদের ট্রানজিট সিগন্যাল $\delta_p$ এর চেয়েও ২ দশমিক ধাপ নিছে যা ছিল $1\%$! আমরা যদি আমাদের লাইট বাল্বের উদাহরণ এ ফিরে যায় যেখানে আমরা বলেছিলাম যে ফ্লাক্স এর পরিবর্তন এর একটা কারণ হতে পারে আকাশের দেয়ালে ২ টি বস্তুর আপাত ডিস্ক এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত, (আমাদের লাইট বাল্বের ব্যাসার্ধ ছিল $R_{lightbulb} =10 \; cm$ ) তাহলে $\delta_{atm} =3 \times 10^{-4}$ পরিমাণ ফ্লাক্স এর পরিবর্তন এর জন্য

$$r = \sqrt{\delta} \times R_{lightbulb} \approx 2\; cm$$

আকারের বস্তুকে লাইট বাল্ব এবং আমাদের মাঝে পাস করে যাওয়া লাগবে!! মানে কি পরিমাণ নিখুঁত হওয়া লাগবে!
কিন্তু এসব স্টাডি গুলো করে হয়েছে কয়েকটা মাত্র স্যাম্পল সিস্টেম এর জন্য । আবার এসব পর্যবেক্ষণ নির্দিষ্ট পরিমাণ ফ্লাক্স আসা ছাড়াও অনেক ধরণের চ্যালেঞ্জ এর সম্মুখীন হতে হয় । যেমন ধর মাত্র ০.০৩% শতাংশ ফ্লাক্স তুমি বাল্ব থেকে পাচ্ছ কিন্তু তোমাদের মাঝে কুয়াশা আছে বা বাল্বটা কোনো গাড়ির হেডলাইট যা একটা গতিতে চলছে , এরকম অনেক ঝামেলা তারাদের ক্ষেত্রে গ্রাউন্ড ভিত্তিক পর্যবেক্ষণে জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের অনেক বিরক্ত করে । কিন্তু এসব জ্যোতির্বিজ্ঞানকে আরো মজার করে তুলে ।


Fahim Rajit Hossain
Summer Intern 2020, Leiden University
Bangladesh Olympiad on Astronomy and Astrophysics


Share this Post