মহাকাশে পার্কিং স্টেশন – ২য় পর্ব

bdoaaadmin/ January 9, 2021/ Astronomy Articles/ 0 comments

Arman Hassan and Sajia Shahrin Neha
এটা বিডিওএএ ২০২০ সালের ক্যাম্পের স্টুডেন্ট দের দ্বারা লিখিত জ্যোতির্বিজ্ঞান আর্টিকেল (Astronomy Capstone Project) এর একটি অংশ । এই আর্টিকেল গুলো তারা ক্যাম্পে যা শিখেছে এবং সাধারণত অলিম্পিয়াডে যেসব টপিকে তাদের প্রশ্ন করা হয় সেগুলোর ওপর বিস্তারিত বর্ণনা যা অন্যান্য জ্যোতির্বিজ্ঞান এর আগ্রহী স্টুডেন্টদের সাহায্য করবে । 

প্রথম পর্ব – মহাকাশে পার্কিং স্টেশন – ১ম পর্ব

প্রথম পর্বে আমরা Lagrange Point এর সংজ্ঞা (Physical Meaning) জেনেছি । এই পর্বে আমরা এই বিশেষ পয়েন্ট এর অবস্থান প্রতিপাদন করব ।

Lagrange Point $L_1$ এবং $L_2$ নির্ণয়

প্রথমেই আমরা ধরি, কোন বস্তুর orbital velocity, $v=\frac{2\pi r}{T}$ যেখানে $r$ = orbital radius এবং $T$= orbital period  (পর্যায়কাল / আবর্তনকাল) 

পৃথিবীর উপর মোট প্রযুক্ত বলঃ $$\sum\overrightarrow{F_{\oplus}}=m_{\oplus}a_{\oplus}$$

এখানে $a_{\oplus}$ হল centripetal acceleration.

$$\sum\overrightarrow{F_{\oplus}}=m_{\oplus}a_{\oplus}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}^2}{r_{\oplus}T^2}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}m_{\oplus}}{r_{\oplus}^2}=\frac{m_{\oplus}v_{\oplus}^2}{r_{\oplus}}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}}{T^2} . . . . . . . . . . . . (1)$$

যেহেতু সূর্যের ভরের তুলনায় $L_1$ এ রাখা বস্তুর ভর অতি নগণ্য, তাই পৃথিবীর উপর বস্তুটি কর্তৃক প্রযুক্ত বল উপেক্ষণীয়। এখানে তাই শুধুমাত্র পৃথিবীর উপর সূর্য কর্তৃক প্রযুক্ত বল বিবেচনা করা হয়েছে। 
এখন আমরা $L_1$ এ রাখা বস্তুর উপর নিট বল গণনা করিঃ

(এখানে বলে রাখা দরকার যে x-axis এর ঋণাত্মক দিকে বল ধনাত্তক ধরা হয়েছে, তাই বস্তুর উপর সূর্য কর্তৃক প্রযুক্ত বল ধনাত্মক এবং পৃথিবী কর্তৃক প্রযুক্ত বল ঋণাত্মক হবে।)$$\sum\overrightarrow{F_{s}}=m_{s}\overrightarrow{a_{rs}}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}m_{s}}{(r_{\oplus}-L_{1})^2}-\frac{Gm_{\oplus}m_{s}}{L_{1}^2}=\frac{m_sv_s^2}{(r_{\oplus}-L_{1})}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{(r_{\oplus}-L_{1})^2}-\frac{Gm_{\oplus}}{L_{1}^2}=\frac{4\pi^2(r_{\oplus}-L_{1})^2}{(r_{\oplus}-L_{1})T^2}$$

বামপক্ষের প্রথম রাশির লব ও হরকে $r_{\oplus}^2$ এবং ডানপক্ষের রাশিটির লব ও হরকে $r_{\oplus}$ দ্বারা ভাগ করে পাই

$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1-\frac{L_{1}}{r_{\oplus}})^{-2}-\frac{Gm_{\oplus}}{L_{1}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}}{(r_{\oplus}-L_{1})T^2}(1-\frac{L_{1}}{r_{\oplus}}) . . . . . . . . . . . . . . (2)$$

দ্বিপদী বিস্তৃতি থেকে আমরা জানিঃ $(x+y)^n=(1+y)^n\thickapprox 1+ny$
এখানে $y = \frac {L_1}{r_\oplus}$ এর উর্ধ্বঘাতের মান $\approx 0$ বলে উক্ত পদসমূহ উপেক্ষণীয় । 
(2) থেকে পাইঃ

$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1+2\frac{L_{1}}{r_{\oplus}})-\frac{Gm_{\oplus}}{L_{1}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}}{(r_{\oplus}-L_{1})T^2}(1-\frac{L_{1}}{r_{\oplus}})$$
(1)  হতে মান বসিয়ে পাই$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1+2\frac{L_{1}}{r_{\oplus}})-\frac{Gm_{\oplus}}{L_{1}^2}=\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1-\frac{L_{1}}{r_{\oplus}})$$

সমীকরণটিকে একটু গুছিয়ে লিখলে পাইঃ 

$$\Rightarrow\frac{3Gm_{\odot}L_{1}}{r_{\oplus}^3}=\frac{Gm_{\oplus}}{L_{1}^2}$$এখান থেকে আমরা পৃথিবী থেকে L1 এর দূরত্ব বের করতে পারিঃ

$$\boxed{L_{1}=\sqrt[3]{\frac{M_{\oplus}}{3M_{\odot}}}   r_{\oplus}}$$

$L_2$ Derivation

দ্বিতীয় Lagrange point $L_{2}$ এর ক্ষেত্রেও আমরা একই সূত্র পাবো! সেক্ষেত্রে বস্তুর orbital radius কে $r_{\oplus}+L$ ধরতে হবে আর যেহেতু ওখানে সূর্য এবং পৃথিবী কর্তৃক প্রযুক্ত বল একই দিকে তাই উভয় বলের মান ধনাত্মক ধরতে হবে। এটা আমরা উপরের উদাহরণ দেখে চেষ্টা করলেই পারবো !

$$\sum\overrightarrow{F_{s}}=m_{s}\overrightarrow{a_{rs}}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}m_{s}}{(r_{\oplus}+L_{2})^2} + \frac{Gm_{\oplus}m_{s}}{L_{2}^2}=\frac{m_sv_s^2}{(r_{\oplus}+L_{2})}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{(r_{\oplus}+L_{2})^2}+\frac{Gm_{\oplus}}{L_{2}^2}=\frac{4\pi^2(r_{\oplus}+L_{2})^2}{(r_{\oplus}+L_{2})T^2}$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1+\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})^{-2}+\frac{Gm_{\oplus}}{L_{2}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}}{(r_{\oplus}+L_{2})T^2}(1+\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1-2\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})+\frac{Gm_{\oplus}}{L_{2}^2}=\frac{4\pi^2r_{\oplus}}{(r_{\oplus}+L_{2})T^2}(1+\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})$$$$\Rightarrow\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1-2\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})+\frac{Gm_{\oplus}}{L_{2}^2}=\frac{Gm_{\odot}}{r_{\oplus}^2}(1+\frac{L_{2}}{r_{\oplus}})$$$$\Rightarrow\frac{3Gm_{\odot}L_{2}}{r_{\oplus}^3}=\frac{Gm_{\oplus}}{L_{2}^2}$$$$\Rightarrow \boxed{L_{2}=\sqrt[3]{\frac{M_{\oplus}}{3M_{\odot}}}   r_{\oplus}}$$

অর্থাৎ,

$$\boxed{L_{1}=L_{2}}$$

Earth-Moon System এর  ${\color{brown} L_{1,2}}$:

Earth-Moon সিস্টেম এর ক্ষেত্রে, Moon হতে Lagrange point $L_1$ অথবা $L_2$ এর দূরত্ব-$$L_{1,2}=\sqrt[3]{\frac{M_{m}}{3M_{\oplus}}}{r_{m}}$$

এখানে, $r_{m}$ হচ্ছে চাঁদের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ এবং $M_{m}$ হচ্ছে চাঁদের ভর।$$L_{1,2}\thickapprox6.14 \times 10^7 \; m$$

কিন্তু আমরা আগে বের করেছিলাম যে Gravitational Neutral point টি চাঁদ থেকে $3.844 \times 10^8\; m-3.461 \times 10^8\; m=3.83 \times 10^7\; m$ দূরে অবস্থিত এবং পৃথিবী থেকে $4.322 \times 10^8\;m$ দূরে আরেকটি বিন্দু আছে যেখানে মহাকর্ষ বল সমান হয় । চাঁদ থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব $4.322 \times 10^8\; m-3.844 \times 10^8\;m=4.78 \times 10^7\; m$

অর্থাৎ আমরা বুঝতে পারলাম যে Gravitational neutral point $\neq$ Lagrange point !

What is Hill sphere?

কোনো মহাজাগতিক বস্তুর Hill Sphere বলতে এর চারপাশের এমন অঞ্চলকে বোঝায় যেখানে ওই বস্তুটির Gravitational Pull, এর ভিতরের যেকোনো বস্তুর গতিপথ নির্ধারণ করে এবং কোন বস্তু যে বস্তুর হিল স্ফিয়ার এর ভেতরে আছে তার চারপাশে ঘুরতে থাকবে। Hill Sphere এর boundary হলো zero velocity surface । অর্থাৎ lagrange points !! পৃথিবীর Hill Sphere এর ভিতরের যেকোনো বস্তু সূর্যের পরিবর্তে পৃথিবীর satellite হয়ে যাবে। তেমনভাবে Moon এর Hill Sphere এর ভিতরের যেকোনো বস্তু পৃথিবীর পরিবর্তে Moon এর satellite হয়ে যাবে। যদি $a$ কক্ষপথের গড় ব্যাসার্ধ হয় তবে অধিক ভরসম্পন্ন বস্তু $M$ এবং কম ভরসম্পন্ন বস্তু $m$ হলে Hill Sphere( অধিক ভরসম্পন্ন বস্তুর) এর ব্যাসার্ধ,  

$$L=\sqrt[3]{\frac{m}{3M}}a$$

যা Lagrange point $L_1$ এর সূত্র র অনুরুপ! কিন্তু lagrange point এর সূত্র  কেন hill sphere এর সূত্র কে সিদ্ধ  করে?

Lagrange point হল দুটি বস্তুর মাঝে এমন একটি বিন্দু যেখানে কোন বস্তু থাকলে নিট কোন বল লাভ করে না ফলে কোন rotating reference frame এ দেখলে মনে হবে বস্তুটি বড় দুটি বস্তুর মাঝে স্থির আছে। কিন্তু বস্তুটি যদি বড় কোন বস্তুর দিকে সরে যায় তাহলে তার উপর ওই বস্তুর মহাকর্ষ বল বাড়তে থাকে ফলে ওই বস্তুর মহাকর্ষ বলের প্রভাব বেড়ে যায়।ফলে বস্তুটি যে বস্তুর দিকে ঝুঁকে যায় সে বস্তুকে কেন্দ্র করেই ঘুরতে থাকে ওই বর্ধিত প্রভাবের জন্য। ব্যাপারটা এভাবেও দেখা যায়। ধরি দুটি বস্তুর মধ্যে যেটি ছোট তার চারপাশে ক্ষুদ্র একটি বস্তু ঘুরছে। এখন কেপলার এর 3rd law  বলে বস্তুটি যত দূরে যাবে তার কৌণিক বেগ তত কমবে। আবার অন্যদিকে বস্তুটি বড় বস্তুর কাছে যেতে যেতে বেশি কাছে চলে গেলে বড় বস্তুকে কেন্দ্র করে ঘুরতে থাকবে। এখন ক্ষুদ্র বস্তুটি যতই ছোট বস্তু থেকে দূরে যাবে ততই তার কৌণিক বেগ কমবে এবং একসময় তা 0 হবে, এর বেশি দূরে গেলে বড় বস্তুকে কেন্দ্র করে ঘুরতে থাকবে। কিন্তু যে জায়গায় কৌণিক বেগ শুন্য হবে অর্থাৎ বড় দুটি বস্তু সাপেক্ষে relative position আর পরিবর্তন হবে না সেটিই তো lagrange point !!!
তাই দুটি বস্তুর মাঝে $L_{1}$ পয়েন্টটি দুটি বস্তুরই হিল স্ফিয়ার এর শেষ সীমানা।
আবার $L_{2}$ পয়েন্ট এও নিট বল শূন্য হয় এবং এর থেকে কাছে গেলে বড় দুটি বস্তুর মধ্য যেটি ছোট তার মহাকর্ষ বলের প্রভাব বাড়তে থাকে কারণ বিন্দুটি ছোট বস্তুর কাছে ফলে ছোট বস্তুকে কেন্দ্র করে ঘুরতে থাকবে। এখান থেকে আমরা একটি অনুসিদ্ধান্তে আসতে পারি যে পৃথিবীর এমন কোনো satellite থাকা সম্ভব নয় যার পর্যায়কাল 7 months এর বেশি। 

মজার জিনিস হল যে সব বস্তুর এ Hill Sphere আছে!

স্পেস এ থাকা একজন নভোচারী, কোন asteroid বা স্পেস স্টেশন এর ও Hill Sphere আছে! তাই চাইলে স্পেস স্টেশন এর চারপাশে বাচ্চা কিছু স্টেশন orbit করানো যাবে!! উদাহরণস্বরূপ, ISS যখন Low Earth Orbit এ ছিলো, তখন এর Hill Sphere এর ব্যাসার্ধ 120 cm ছিল, যা তার নিজের ব্যাসার্ধের চেয়ে অনেক কম, অর্থাৎ এর Hill Sphere তার নিজের ভিতরেই ছিলো! এখন আমরা যদি জাদুকরী Shrink Ray দিয়ে ISS কে point mass বানিয়ে ফেলতে পারতাম তাহলে এর চারপাশে বেশ কয়েকটি ছোট satellite orbit করানো যেত।

Low Earth Orbit এ, কঠিন সীসার চেয়ে কম ঘনত্বের যেকোনো বস্তুর Hill Sphere তার নিজের ভিতর থাকবে। আমরা পৃথিবী থেকে যত দূরে যাই, পৃথিবীর মহাকর্ষ বলের প্রভাব তত হ্রাস পায়। Geostationary orbit এ থাকা কোন satellite এর ঘনত্ব পানির ঘনত্বের 6% এর বেশি হলেই তার চারপাশে ছোট satellite orbit করানো যাবে।

এখন যদি অতিউৎসাহী কোন ব্যক্তি স্বর্ণের কোন গোলক Low Earth Orbit এ প্রবেশ করাতে পারেন তাহলে এর চারপাশে চালের দানা orbit করানো যাবে!!! 


Share this Post

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>
*
*