মহাকাশে পার্কিং স্টেশন - ১ম পর্ব
সৌরজগৎ বা যেকোনো প্ল্যানেটারি সিস্টেম এ এমন কিছু বিশেষ স্থান রয়েছে যেখানে যেকোনো বসতুকে স্থির ভাবে রাখা যায় যেন গাড়ি পার্ক করে রাখা আছে । এই বিশেষ অঞ্চল নিয়েই জানার চেষ্টা করব আমরা ।
— Arman Hassan and Sajia Shahrin Neha
এটা বিডিওএএ ২০২০ সালের ক্যাম্পের স্টুডেন্ট দের দ্বারা লিখিত জ্যোতির্বিজ্ঞান আর্টিকেল (Astronomy Capstone Project) এর একটি অংশ । এই আর্টিকেল গুলো তারা ক্যাম্পে যা শিখেছে এবং সাধারণত অলিম্পিয়াডে যেসব টপিকে তাদের প্রশ্ন করা হয় সেগুলোর ওপর বিস্তারিত বর্ণনা যা অন্যান্য জ্যোতির্বিজ্ঞান এর আগ্রহী স্টুডেন্টদের সাহায্য করবে ।
সূচনা
Lagrange points, 3 body problem এর একটি স্পেশাল কেস যেখানে তিনটি বস্তুর relative position তাদের কক্ষপথে আবর্তনের সময় পরিবর্তন হয় না । এর ফলে তিনটি ভরেরই অর্থাৎ পুরো ব্যবস্থার আবর্তনকাল বা কৌণিকবেগ সমান হয় ।
এক্ষেত্রে যেটা হয় সেটা হল- ছোট কোন বস্তুর উপর দুটি বড় বস্তুর মহাকর্ষ বল এমন ভাবে একটি অপরটিকে বাতিল করে দেয় যাতে পুরো সিস্টেমের ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ছোট বস্তুটি এমন ভাবে সাম্যাবস্থায় আসে যাতে তিনটি বস্তুর আপেক্ষিক অবস্থান তাদের কক্ষপথে আবর্তনের সময় পরিবর্তন হয় না ।
সিস্টেম এর ভরকেন্দ্র (center of mass) কে কেন্দ্র করে সিস্টেম এর কৌণিক বেগ বা আবর্তনকালের সমান কৌণিক বেগ বা আবর্তনকাল নিয়ে ঘূর্ণায়মান rest frame এ দেখলে মনে হবে তিনটি ভরই একই জায়গায় চুপচাপ বসে আছে।
ব্যাপারটি বুঝতে নিচের ছবিটি সাহায্য করবে । কোন system এ এরকম ৫ টি অবস্থান পাওয়া গেছে যাদের যথাক্রমে \[L_{1},L_{2},L_{3},L_{4},L_{5}\] বলে।
ল্যাগড়াঞ্জ পয়েন্ট গুলো বুঝতে যারা সেলেস্টিয়াল মেকানিক্সে নতুন তাদের কাছে একটা প্রশ্ন আস্তেই পারে —
Gravitational Neutral Point-ই কি Lagrange Point?
Gravitational Neutral point হল যেখানে কোন বস্তুর উপর অন্য দুটি বস্তুর মহাকর্ষ বল সমান এবং দিক বিপরীতমুখী অর্থাৎ বস্তুর উপর মোট মহাকর্ষ বল শূন্য । আমরা এখন দেখব এই বিন্দু কি lagrange point কিনা।
Where is this Gravitational neutral point?
আমরা Earth-Moon system এর জন্য এই পয়েন্ট খুজব । যেহেতু নিট বল শূন্য তার মানে আবশ্যই Earth-Moon joining line এর উপর ভরটি থাকবে(যেহেতু শুধুমাত্র একই পরিমাণ বল সমান ও বিপরীত দিকে তখনই হওয়া সম্ভব যখন তারা্ একই সরলরেখার উপর থাকবে) । ধরে নেই পৃথিবীর ভর \[M_{\oplus}\] চাঁদের ভর \[M_{M}\] , চাঁদ পৃথিবীর দূরত্ব \[R_{\oplus M}\] , আমরা যে ভর নিয়ে কাজ করব তার ভর \[m\] এবং পৃথিবী হতে \[X\] মিটার দূরে Gravitational Neutral point অবস্থিত।
এখানে m এর উপর পৃথিবী এবং চাঁদের আকর্ষণ বল সমান
\[\frac{GM_{\oplus}m}{x^2}=\frac{GM_{M}m}{(R_{\oplus M}-x)^2}\]
\[\Rightarrow \frac{M_{\oplus}}{x^2}=\frac{M_{M}}{(R_{\oplus M}-x)^2}\]
মান বসিয়ে পাই,
\[\Rightarrow \frac{5.972\times10^{24}}{x^2}=\frac{7.348\times10^{22}}{(3.844\times10^8-x)^2}\]
\[\Rightarrow \frac{5.972\times10^{24}}{x^2}=\frac{7.348\times10^{22}}{(3.844\times10^8-x)^2}\]
\[\Rightarrow 589.852 \times x^2-4.591\times10^{11} \times x+8.824\times10^{19}=0\]
যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এর সমাধান করে পাই-
\[\Rightarrow x=4.322\times10^8 , 3.461\times10^8\]
এখানে \[4.322\times10^8>R_{\odot M}>3.461\times10^8\]
অর্থাৎ এমন দুটি বিন্দু পাচ্ছি একটি পৃথিবী-চাঁদের মধ্যে আরেকটি চাঁদের বাইরে। দুই ক্ষেত্রে আকর্ষণ বলের মান সমান কিন্তু পৃথিবী-চাঁদের মধ্যেই কেবল আকর্ষণ বল বিপরিতমুখী হবে ফলে নিট বল শুণ্য হবে,
অর্থাৎ \[x=3.461\times10^8\] m
বস্তু কি একই জায়গায় থাকবে ?
কিন্তু ব্যাপারটা হচ্ছে ওই বস্তু তো আর এক জায়গায় চুপ করে বসে থাকবে না । সেটা space এ সম্ভব ও নয় ।
বস্তুটির যদি চাঁদ সূর্যের আকর্ষণ বলকে অতিক্রম করার মত গতিশক্তি না থাকে তাহলে বস্তুটিও সূর্যকে কেন্দ্র করে ঘুরবে। এই ঘূর্ণনের জন্য পৃথিবী, বস্তু, এবং চাঁদ একই সরল রেখায় থাকবে না । যার বলে মহাকর্ষ বল একই রেখা বরাবর ক্রিয়া করবে না তাই বল গুলো পরস্পরকে নাকচ করতে পারবে না ।
চাঁদ কি বসে থাকবে ?
আমাদের পুরো setup একটি নির্দিষ্ট সময়ের তাই আমরা চাঁদকে স্থির ধরে নিতে পারি । কিন্তু চাঁদ আসলে পৃথিবীকে কেন্দ্র করে ঘুরছে, কোন দৈব বলে বস্তুটি স্থির থাকলেও চাঁদ স্থির থাকবে না ।চিত্রটিতে কিছু সময় পর চাঁদের অবস্থান দেখা যাচ্ছে। এক্ষেত্রে আমরা দেখছি চাঁদ, বস্তু ও পৃথিবী একই রেখায় নেই। তাই তাদের আকর্ষণ বল ও একই রেখায় কাজ করবে না বলে তাদের নিট বল শুন্য হবে না ।
আসলে কি হয়?
আসলে চাঁদ বা বস্তু কোনটাই স্থির না। দুটিই ঘুরতে থাকে।
এখন \[x<R_{\oplus M}\]
কেপলার এর সূত্র হতে পাই-
\[T^2=\frac{4\pi^2}{GM} a^3\]
\[\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} \sqrt{a^3}\]
\[\Rightarrow \frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} \sqrt{a^3}}\]
\[\Rightarrow \omega=\frac{\sqrt{GM}}{\sqrt{a^3}}\]
এখানে \[x<R_{\oplus M}\]
সুতরাং \[\omega_{m}>\omega_{M}\] যেখানে \[\omega_{m}\] হল বস্তুর কৌণিক বেগ আর \[\omega_{M}\] হল চাঁদের কৌণিক বেগ।
অর্থাৎ বস্তুর কৌণিক বেগ বেশি হওয়ায় যে মুহূর্তে পৃথিবী-বস্তু-চাঁদ একই রেখায় ছিল সে সময় থেকে নির্দিষ্ট সময় পর বস্তুটি আগের অবস্থান হতে চাঁদ অপেক্ষা বেশি দূরে সরে যাবে। তাই তারা আর একই রেখায় থাকবে না এবং অবশ্যই নিট বল শূন্য হবে না। কিন্তু যদি কোন ভাবে পৃথিবী, চাঁদের আকর্ষণ বল আর কেন্দ্রবিমুখী বলের ভেক্টর যোগফল শূণ্য করা যায় তখন?
তখনই আসলে আমরা lagrange point পাব 😃😃
কিন্তু সে বিন্দু অবশ্যই Gravitational Neutral point নয়।
A More Formal Definition:
বল একটি ভেক্টর রাশি এবং যেকোনো ভেক্টর রাশি দিয়ে কাজ করা ঝামেলার কারণ ভেক্টর যোগ বিয়োগ ঝামেলার। তাই আমরা এখন বিভব নিয়ে কাজ করব কারণ বিভব একটি স্কেলার রাশি। আমরা বড় দুটো ভরের বস্তুর ভরকেন্দ্র কে মূলবিন্দু ধরব, তাদের সংযোগরেখাকে x-axis ধরব এবং মূল বিন্দু থেকে \[M_1\] এবং \[M_2\] দূরত্ব যথাক্রমে \[r_1\] এবং \[r_2\] যেখানে \[M_1>M_2\]। ধরি Test mass এর ভর \[m\] এবং তা \[M_1\] এবং \[M_2\] থেকে যথাক্রমে \[s_1\] এবং \[s_2\] দূরত্বে আছে।
চাঁদ-পৃথিবী বা পৃথিবী-সূর্য এর ক্ষেত্রে দেখা যায় দুটি বস্তুই তাদের ভরকেন্দ্র কে কেন্দ্র করে ঘুরছে। এক্ষেত্রে এই সিস্টেমে ভরকেন্দ্র ছাড়া সব কিছুই ঘুরছে। তাই ভরকেন্দ্র কে মূলবিন্দু ধরাটা যুক্তিযুক্ত কারণ এটি স্থির।
তাও আমাদের পুরোপুরি সুবিধা হল না কারণ বস্তুদুটি ঘুরছে এবং এদের সাপেক্ষে আমার অন্য একটি বস্তুর বিভিন্ন জিনিস হিসাব করা লাগবে। তাই আমরা একটি rotating rest frame চিন্তা করব যা বস্তু দুটির কৌণিক বেগের সমান কৌণিক বেগে rotate করছে, তাহলে বস্তু দুটি স্থির হয়ে যাবে।
এখন \[M_1\] এর সাপেক্ষে \[m\] এর gravitational potential energy
\[ U_{g_1} = -G \frac {M_1m}{s_1} \]
এখন \[M_2\] এর সাপেক্ষে \[m\] এর gravitational potential energy
\[U_{g_2}=-G\frac{M_2m}{s_2}\]
যেহেতু আমরা একটি rotating rest frame এ হিসাব করছি তাই এখানে একটি fictitious force হিসাব করতে হবে যেটা rotation এর জন্য আসবে।এর জন্য যে শক্তি আমরা হিসাব করে পাব তাকে ‘centrifugal potential energy’ বলে।
এখানে লক্ষ্য করার বিষয় হল কোন বস্তু থেকে যত দূরে যাওয়া যায় সে বস্তুর gravitation effect তত কমতে থাকে এবং অসীমে গেলে বলা যায় যে সেখানে ওই বস্তুর জন্য কোন gravitation force অনুভব করব না।
তাই কোন বস্তু থেকে অসীমের বিভব শূন্য এবং যত কাছে আসা হয় ততই মহাকর্ষ বল বাড়তে থাকে এবং বিভব বাড়তে থাকে।
কিন্তু centrifugal force \[F_c=m{\omega}^2r\]
এই ক্ষেত্রে \[\omega\] হল rotating rest frame এর কৌণিক বেগ । এখন যেহেতু frame টা ভরকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে ঘুরছে, ভরকেন্দ্র স্থির। অর্থাৎ করকেন্দ্রে কোন বস্তু থাকলে এটি কোন বল লাভ করবে না কিন্তু ভরকেন্দ্র থেকে যত দূরে যাওয়া যায় এই বল তত বাড়তে থাকে। তাই ভরকেন্দ্রে Centrifugal potential 0 ।
ভরকেন্দ্র থেকে যত দূরে যাওয়া যাবে তত বিভব বাড়তে থাকে বাড়তে থাক… আমরা এখন এই বিভব শক্তি হিসাব করব । আমরা ভরকেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর বিভব পার্থক্য হিসাব করব কারণ ভরকেদ্রে বিভব শক্তি 0 ।
ধরি ভরকেন্দ্রে বিভব শক্তি \[U_{C_0}\]
\[\Delta U = U_{C_r}-U_{C_0}=-\int^r_0 F_cdr\]
\[\Rightarrow U_{C_r}-0=-\int^r_0 m\omega^2r dr\]
\[\Rightarrow U_{C_r}= -m\omega^2 [\frac{1}{2}r^2]_0^r\]
\[\Rightarrow U_{C_r}= -\frac{1}{2} m\omega^2r^2\]
তাহলে মোট বিভব শক্তি হবে-
\[U= -G(\frac{M_1m}{s_1}+\frac{M_2m}{s_2})-m\omega^2r^2\]
\[\frac{U}{m}= -G(\frac{M_1}{s_1}+\frac{M_2}{s_2})-\omega^2r^2\]
\[\boxed{\Phi= -G(\frac{M_1}{s_1}+\frac{M_2}{s_2})-\omega^2r^2}\]
Kepler’s 3rd law হতে পাই-
\[T^2=\frac{4\pi^2}{G(M_{1}+M_{2})}(r_{1}+r_{2})^3\]
\[\Rightarrow \frac{4\pi^2}{\omega^2}=\frac{4\pi^2}{G(M_{1}+M_{2})}(r_{1}+r_{2})^3\]
\[\Rightarrow \omega^2=\frac{G(M_{1}+M_{2})}{(r_{1}+r_{2})^3}\]
\[\therefore \boxed{\Phi=-G(\frac{M_1}{s_1}+\frac{M_2}{s_2})-\frac{G(M_{1}+M_{2})}{(r_{1}+r_{2})^3}r^2}\]
এই \[U\backslash m\] বা \[\Phi\] কে বলে Effective Gravitational Potential
এবং Lagrange point এর সংজ্ঞা এভাবে দেয়া হয়-
“Extrema of Effective Gravitational Potential”
এটা আবার কি জিনিস? 
আমরা জানি Lagrange point এর জন্য net force 0 হবে।
\[\boxed {F=\frac{dU}{dr}=\frac{d(m\Phi)}{dr}=m\frac{d\Phi}{dr} = 0} \]
আমরা চিত্র থেকে Cosine law ব্যবহার করে নিচের সম্পর্কগুলো পাই:
\[s_1^2=r_1^2+r^2+2r_1r\cos\theta\]
\[s_2^2=r_2^2+r^2+2r_2r\cos\theta\]
আমরা যদি \[d\Phi\backslash dr\] এর গ্রাফ আঁকতে যাই আমাদের একটি 3-D graph আঁকতে হবে। তাই আমরা আগে x-axis বরাবর কোন বস্তু থাকলে কি হবে তা দেখব অর্থাৎ \[dU\backslash dx\] এর গ্রাফ দেখব
আমরা চাই \[dU\backslash dx=0\] অর্থাৎ সে বিন্দুগুলো যাদের ঢাল শূন্য। এখানে দেখা যাচ্ছে potential hill গুলোর সর্বোচ্চ বিন্দুগুলোর ই এবল ঢাল শূন্য। একেই বলা হয় “Extrema of Effective Gravitational Potential.”
সকল বিন্দুর জন্য গ্রাফ বানালে তা নিচের মত হবে-
